La Solución a las Paradojas

LA SOLUCIÓN A LAS
PARADOJAS

“Lo que ellos [los griegos] llaman paradojas, nosotros lo llamamos ‘cosas que maravillan’” (Cicerón)

“A lomos de todas las paradojas se cabalga hacia todas las verdades” (Nietzsche)

“De la paradoja viene la sabiduría” (Masahiro Mori)

“Todas las paradojas pueden reconciliarse” (El Kybalion)

Las Paradojas
La palabra “paradoja” viene del griego (para y doxos), que significa “más allá de la creencia, de lo creíble, del conocimiento común, de la opinión general”. Una paradoja es una afirmación o el resultado de un razonamiento que expresa algo que desafía al sentido común.

Una antinomia (del griego anti, contra, y nomos, ley) es un tipo de paradoja que expresa una contradicción (real o aparente) entre dos proposiciones o afirmaciones, cada una de las cuales puede parecer defendible racionalmente.
Una falacia es el resultado de un razonamiento aparentemente correcto, pero el resultado es falso porque el razonamiento esconde un error.
Una aporía (que en griego significa “dificultad de paso”, “sin camino” o “camino sin salida”), es una cuestión que parece irresoluble o cuyo significado es difícil de entender o interpretar, lo que impide una respuesta precisa y definitiva. También indica la imposibilidad de acceder a ciertos conocimientos. Ejemplos de aporías son: las cuestiones de la nada, la verdad, la conciencia, la libertad, el comienzo del tiempo, etc. Algunas aporías que en su momento fueron consideradas irresolubles, han sido posteriormente resueltas debido a avances cognitivos o a cambios de paradigma.

Hay muchos tipos de paradojas: lógicas, matemáticas, físicas, lingüísticas, biológicas, económicas, visuales, etc. Nos interesa especialmente las paradojas antinómicas lógicas y las matemáticas porque están estrechamente relacionadas con el tema de la conciencia, pues este tipo de paradojas unen los opuestos.

Paradojas sintácticas y semánticas

Las paradojas sintácticas (o formales) son enunciados contradictorios en su propia estructura, es decir, en su sintaxis.

Las paradojas semánticas son las que contienen elementos que exigen alguna interpretación. Tienen que ver con el significado o con la verdad o falsedad de lo que se está expresando. También se han asociado con conceptos difusos opuestos como alto-bajo, rico-pobre, lento-rápido, etc., donde no existe una frontera clara entre ambos polos.

Según Ramsey, las paradojas semánticas −que él denomina “epistemológicas− no se pueden expresar con un sistema lógico formal porque transcienden la lógica al hacer uso de términos como “significado”, “definir”, “nombrar”, “verdad”, etc.

Tarski resuelve las paradojas semánticas introduciendo el concepto de metalenguaje. Según Tarski, el concepto ordinario de verdad es incoherente, por lo que debe ser sustituido por una jerarquía de expresiones de verdad, donde en cada nivel debe utilizarse también un nivel de lenguaje. Una afirmación simple como “Las hojas de los árboles son verdes” se expresa en un lenguaje objeto. Pero para poder hablar de verdad o falsedad de una afirmación, es necesario utilizar un lenguaje que hable del lenguaje, es decir, un metalenguaje. Por lo tanto, la sentencia anterior debería expresarse como “El enunciado ‘Las hojas de los árboles son verdes’ es verdadero”, porque hace referencia al valor de verdad de un enunciado de un lenguaje objeto. Si no se hace esta distinción, podría razonarse, por ejemplo, de la manera siguiente:

Romeo ama a Julieta. Julieta es una palabra de siete letras. Por lo tanto, Romeo ama a una palabra de siete letras. Para evitar este error, hay que utilizar “Julieta” (entre comillas) en la segunda sentencia, para referirse a la palabra y no a la persona.

Paradojas Lógicas
Paradoja del mentiroso

Las paradojas lógicas tienen una larga historia. Seis siglos antes de Cristo, cuenta la leyenda que el filósofo griego Epiménides de Creta afirmó en una plaza pública: “Todos los cretenses son mentirosos”. En el siglo IV, Eubulides de Mileto lo expresó de una forma más directa y sencilla: “Esta sentencia es falsa”. Es la famosa “paradoja del mentiroso”. Es una paradoja porque si la sentencia es verdadera, entonces es falsa; y si es falsa, entonces es verdadera.

Las paradojas lógicas están asociadas normalmente a expresiones o conceptos autorreferenciales. El ejemplo paradigmático es precisamente la paradoja del mentiroso, cuya sentencia hace referencia a sí misma. Es también un ejemplo paradigmático de paradoja semántica, pues mezcla lenguaje y metalenguaje.

La paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga. La paradoja del infinito

Zenón de Elea −discípulo de Parménides, defensor de que las sensaciones que obtenemos del mundo físico son ilusorias y, concretamente, que el movimiento físico es pura ilusión− fue el creador de varias paradojas asociadas con el tema del infinito y que demostrarían la imposibilidad del movimiento.

La paradoja de Zenón más conocida es la carrera entre Aquiles y la tortuga. Si suponemos que Aquiles dobla la velocidad de la tortuga y d es la distancia inicial entre ambos corredores, la distancia que recorre Aquiles en cada paso (cuando llega a donde estaba la tortuga en el paso anterior) es: d + d/2 + d/4 + d/8 +..., cuyo límite es 2d, pero que requiere infinitos pasos. Por lo tanto, Aquiles nunca alcanza a la tortuga.

La paradoja de la vaguedad

Es una paradoja tipo sorites (palabra griega que significa “montón o pila”):

Un grano de arena no es un montón, ni dos granos, ni tres.
Un millón de granos de arena es un montón.
Si tenemos n granos de arena que no forman un montón, entonces tampoco lo forman n+1 granos.
Si tenemos n granos de arena que sí forman un montón, entonces también lo forman n−1 granos.

Aplicando la inducción matemática, se demuestra que las propiedades 1 y 3 implican que la propiedad 2 no se cumpla. Análogamente, aplicando las propiedades 2 y 4, se demuestra que 3 granos es un montón, contradiciendo la propiedad 1. Se trata de una paradoja semántica porque no se ha definido con claridad el significado de “montón de arena”.

La paradoja de Russell

La paradoja del mentiroso es una paradoja sencilla, elemental. Una paradoja más compleja es la famosa “paradoja de Russell”, una paradoja que descubrió cuando estaba trabajando en su obra “Los Principios de la Matemática” (1903).

Esta paradoja la dio a conocer Russell en una carta dirigida a Frege, que era un firme defensor del logicismo, la tesis de que las matemáticas son reducibles a la lógica. Para Frege, un conjunto era un concepto lógico. En aquel tiempo, Frege estaba trabajando en el segundo volumen de su obra Grundgesetze der Arithmetik (Las Leyes Básicas de la Aritmética), donde intentaba llevar a cabo su proyecto logicista. En 1902, con las pruebas corregidas del segundo volumen ya en la imprenta, recibió una carta de Bertrand Russell en la que le advertía acerca de una grave inconsistencia en su sistema lógico, que posteriormente sería conocida más adelante como “la paradoja de Russell”. Frege entonces modificó uno de sus axiomas (el quinto), dejando constancia de ello en un apéndice de su obra.

En 1938, Stanislaw Lésniewski −filósofo, matemático y lógico polaco− demostró que, pese a esta modificación, el sistema de Frege seguía siendo inconsistente. La paradoja de Russell supuso el fracaso del logicismo en Frege, aunque Russell, en su obra Principia Mathematica, perseveró en la idea logicismo, la idea de que la lógica era la ciencia universal y la matemática una rama de la lógica.

La paradoja de Russell se basa en considerar dos tipos de conjuntos:

Los que no se pertenecen a sí mismos. Es el caso de la mayoría de los conjuntos. Por ejemplo, N (el conjunto de los números naturales) no es un número, el conjunto de perros no es un perro, etc.
Los que se pertenecen a sí mismos. Por ejemplo, el conjunto universal U (el conjunto de todos los conjuntos) es un conjunto, por lo que se incluye a sí mismo: U∈U. El conjunto de las ideas abstractas es también una idea abstracta. El conjunto de cosas que no son hombres tampoco es un hombre.

A continuación define el conjunto R (de “Russell”) constituido por todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. En notación clásica, R={x | x∉x}. Este conjunto es contradictorio. En efecto, R puede o no pertenecer a sí mismo:

Supongamos que R∈R. Al pertenecer a sí mismo, por la definición de R, no pertenece a sí mismo: R∉R. Es decir: R∈R → R∉R.
Supongamos que R∉R. Al no pertenecer a sí mismo, por la definición de R, pertenece a sí mismo: R∈R. Es decir: R∉R → R∈R.

Por lo tanto, se cumple la equivalencia lógica R∉R ↔ R∈R.

La paradoja de Russell supuso cuestionar el principio de comprensión de la teoría de conjuntos, un principio que introdujo Cantor, el creador de la teoría de conjuntos. Este principio afirma que un conjunto puede definirse mediante una propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto. Este principio se suele expresar como “dame una propiedad y te daré un conjunto”. Al invalidarse el principio de comprensión, se cuestionó la validez de la teoría de conjuntos ingenua de Cantor y Frege como fundamentación de la matemática.

La paradoja de Russell ha sido discutida por filósofos y lógicos desde que se dio a conocer, habiendo sido presentada en multitud de variantes. Una de estas variantes la proporcionó el propio Russell en 1919 con la “paradoja del barbero”:

En un pueblo, el barbero solo afeita a todos los habitantes que no se afeitan a sí mismos. ¿Se afeita el barbero a sí mismo? Si el barbero se afeita a sí mismo, no debería afeitarse porque el barbero solo afeita a los que no se afeitan a sí mismos. Pero si no se afeita a sí mismo, le debería afeitar el barbero, que es él mismo. Una formulación generalizada de la paradoja de Russell se basa en el concepto de “propiedad impredicativa” (un término acuñado por Poincaré). Una propiedad es impredicativa si no es una propiedad de sí misma. Por ejemplo, la propiedad “azul” no es azul, “redondo” no es redondo, “alemán” no es alemán, “largo” no es largo, y “monosilábico” no es monosilábico. Una propiedad es no-impredicativa si es una propiedad de sí misma. Por ejemplo, la propiedad “polisílaba” es polisílaba, “escrito en español” está escrito en español ý “corto” es corto.

Ahora bien, se plantea el tema de si la propiedad “impredicativa” es o no impredicativa. Aquí aparece la paradoja. Si lo es, entonces no es impredicativa. Y si no lo es, entonces es impredicativa.

Un enfoque similar es la paradoja de Grelling-Nelson (1908), basada en los adjetivos homológico (el que puede aplicarse a sí mismo) y heterológico (el que no puede aplicarse a sí mismo). La cuestión que conduce a la paradoja es: ¿Es “heterológico” heterológico?

La respuesta de Frege a Russell, tras comunicar éste su paradoja fue: “Su descubrimiento de todas formas es muy notable y puede quizás conducir a un gran avance en lógica, aunque pudiera parecer indeseable a primera vista” [Frege, 1980]. Su estimación fue incluso menor de lo que fue realmente, pues la paradoja de Russell produjo directa o indirectamente grandes avances, en lógica y matemática. La paradoja provocó una crisis en los fundamentos de la matemática durante las primera décadas del siglo XX, pero constituyó un factor fundamental hacia la unificación o conjunción de lógica, matemática, lingüística formal, filosofía (teoría de la verdad, significado y conocimiento) e incluso teoría de la mente y la conciencia.

El descubrimiento de las paradojas de la teoría de conjuntos fue uno de los descubrimientos más profundos de todos los tiempos, algo comparable con el descubrimiento de los números irracionales. La paradoja de Russell (y sus variantes) continúa siendo, al día de hoy, una fuente de inspiración para los interesados en estas disciplinas. Su importancia en la historia del pensamiento ha sido tal que, con motivo del centenario de su descubrimiento (2001), se organizó una conferencia internacional en la Universidad de Munich [Link, 2004].

Paradojas lógicas no circulares. Paradoja de Yablo

Durante mucho tiempo se pensó que todas las paradojas lógicas tenían una estructura circular. Pero en 1993, Stephen Yablo publicó un corto artículo que mostraba una paradoja no circular, pero que constaba de infinitos enunciados [Yablo, 1993] [Uzquiano, 2011]:

Esta serie de enunciados es paradójico porque todos son a la vez verdaderos y falsos. En efecto:

Supongamos que el enunciado general n es verdadero.
Entonces todos los enunciados de índice >n son falsos. En particular son falsos el n+1 y el n+2. Puesto que el n+1 afirma que el n+2 es falso, entonces el n+2 es verdadero.
Supongamos que el enunciado general n es falso.
Entonces todos los enunciados de índice >n son verdaderos. En particular son verdaderos el n+1 y el n+2. Puesto que el n+1 afirma que el n+2 es verdadero, entonces el n+2 es falso.

Esta paradoja no es circular porque se genera una cadena descendente infinita de sentencias contradictorias.

Los Intentos de Solución de las Paradojas Lógicas
Para resolver el tema de las paradojas lógicas de la teoría de conjuntos se intentaron diversos sistemas. Las más importantes fueron: el intuicionismo, la axiomatización de la teoría de conjuntos, la teoría de tipos lógicos de Russell, y la teoría sin clases, también de Russell.

El intuicionismo

La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas para poder solucionar el conflicto. El programa de Brouwer se basaba en fundamentar la matemática sobre unos conceptos de tipo intuitivo. Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas, pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas. Particularmente Brouwer rechazaba el principio del tercero excluido, que afirma que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad o no la tienen. A esta escuela de pensamiento se le denominó “intuicionismo”.

La axiomatización de la teoría de conjuntos

Se trataba de establecer una serie de axiomas que evitaran la circularidad. La axiomatización de Zermelo de la teoría de conjuntos eliminó el principio de comprensión, pero incluyó a cambio el axioma de separación que afirma que dada la propiedad P y un conjunto C, existe un subconjunto de C cuyos elementos tienen la propiedad P (puede ser el conjunto vacío). Sobre esta base, Zermelo demostró que no existe el conjunto universal U, el conjunto de todos los conjuntos, pues si suponemos que existe U, entonces con la propiedad de no pertenecerse a sí mismo, existiría el subconjunto R, que es contradictorio. El axioma de separación, junto con otros seis (entre ellos el axioma de elección y el axioma de infinitud) constituyó la axiomática inicial de la teoría de conjuntos, que fue posteriormente ampliada.

La teoría de tipos lógicos, de Russell

La teoría de los tipos lógicos −o doctrina de los tipos lógicos− fue desarrollada por Russell en “Los Principios de la Matemática” (1903) y ampliado en el artículo "Mathematical Logic as Based on the Theory of Types" (1908) y en el Apéndice B de Principia Mathematica (PM) (1910-1913), la obra de tres volúmenes escrita conjuntamente con Whitehead con la que pretendían fundamentar la matemática mediante la lógica. En la obra de 1903 introdujo la “teoría de tipos simple”, y en las otras dos introdujo la “teoría de tipos ramificada”.

La teoría de tipos lógicos pretendía establecer un marco conceptual y operativo para evitar las paradojas lógicas. Como el problema esencial de las paradojas lógicas es que hacen referencia (de manera más o menos explícita) a sí mismas, Russell estableció diferentes niveles de clases:

Las clases de tipo 0 son elementos individuales (o individuos).
Las clases de tipo 1 son clases cuyos componentes son de tipo 0.
Las clases de tipo 2 son clases cuyos componentes son de tipo 1.
En general, las clases de tipo n son clases cuyos componentes son de tipo n−1.

El llamado “principio del círculo vicioso” intenta evitar los bucles extraños. Establece que ningún concepto c (en particular, las clases) puede hacer referencia a conceptos de rango igual o superior a c. Según esta teoría de tipos:

Una clase no es un elemento. Una clase es de tipo 1.
La clase de todas las clases es de tipo 2.
Ninguna clase puede ser miembro de sí misma.
Una clase de un cierto tipo no puede contener otras clases de su mismo tipo.
Las clases admisibles son las de tipo finito. Por lo tanto, una clase como “la clase de todas las clases” no es admisible porque no pertenece a ningún tipo finito.
Las clases no son cosas, sino expresiones de las cosas. Si las clases fueran cosas, habría más clases de cosas que cosas, lo que constituiría una contradicción.

Hasta aquí la teoría de tipos simple. La teoría de tipos ramificada surgió cuando Russell se percató de la necesidad de restringir el rango de una variable ligada en una proposición general para excluir la posibilidad de que la propia proposición estuviera incluida en el rango de dicha variable, lo conduciría a un círculo vicioso. Russell aplicó el proceso de restricción a los argumentos de una función proposicional en general, más que a las relaciones específicas de pertenencia.

La teoría de tipos ramificada consta dos jerarquías diferentes: la de tipos de clases (introducida en la teoría de tipos simple) y la de órdenes de funciones proposicionales. Una función proposicional es “algo que contiene una variable x y que expresa una proposición tan pronto como se asigna un valor a x”. Por ejemplo, “x es un hombre” es una función proposicional y “Sócrates” un posible argumento, que produciría una proposición concreta (“Sócrates es un hombre”). Una clase se define como “todos los objetos que satisfacen una función proposicional” (PM).

La jerarquía de órdenes de funciones proposicionales es:

Orden 0: funciones sin argumento. Por ejemplo, “Sócrates”.
Orden 1: funciones que toman como argumento un función de tipo 0 y que producen proposiciones como “Sócrates es un hombre”.
Orden 2: funciones que toman como argumento un función de tipo 1 y que producen también proposiciones.
Etc.

Por lo tanto:

La proposición “todas las proposiciones” no tiene sentido a menos que se refiera a una colección de proposiciones ya definida en un orden inferior.
La proposición “todas las proposiciones afirmadas por los cretenses son falsas” es una proposición de un cierto orden n que se refiere a proposiciones afirmadas por los cretenses que son falsas de orden inferior a n.

La teoría de tipos simple resuelve las paradojas lógicas como la de Russell. En cambio, las paradojas semánticas (como la del mentiroso) requieren la teoría ramificada, aunque Russell aplicó esta última teoría a ambos tipos de paradojas, al considerarlas ejemplos del mismo círculo vicioso.

La teoría de tipos ramificada bloquea las paradojas semánticas, pero a un alto coste: la inducción matemática no es aplicable. Así que Russell añadió en PM el “axioma de reducibilidad” para relajar el ámbito del principio del círculo vicioso y así para poder legitimar la inducción y otros razonamientos matemáticos.

El axioma de reducibilidad afirma que toda función proposicional (de cualquier orden) puede ser expresada formalmente por una función predicativa de primer orden equivalente. Este axioma reduce jerarquía de órdenes a un solo nivel, es decir, si un predicado ocurre en cierto nivel, ocurre ya en el primer nivel. Según Russell, el axioma de reducibilidad es una generalización de la ley de identidad de los indiscernibles de Leibniz (dos objetos que tienen las mismas propiedades son el mismo objeto).

Russell pensó en abandonar este axioma en la segunda edición de PM (1925). Dudó de que el axioma fuera verdaderamente lógico, lo que le alejaba de su objetivo de construir la matemática como una rama de la lógica, la ciencia universal. Wittgenstein rechazó, en el Tractatus, el axioma de reducibilidad e incluso la propia teoría de conjuntos, por considerarla superflua.

Russell reconoció (al final del Apéndice mencionado) que la teoría de tipos no era la solución final y definitiva de todos los problemas relacionados con los objetos lógicos. Aunque resolvía la paradoja concreta que había comunicado a Frege, no había sido capaz de encontrar una solución completa.

Ramsey demostró en 1925 que la teoría de tipos simple resolvía las paradojas lógicas. Pero que no servía (ni siquiera la teoría ramificada) para las paradojas semánticas, pues pertenecen a un nivel superior: a una meta-teoría. Ramsey afirmó que el axioma de reducibilidad no tenía cabida en matemática por no ser auto-evidente ni estar justificado filosóficamente, y que “lo que no puede ser demostrado sin él no puede ser considerado como demostrado en absoluto”. La teoría de tipos, en sus dos versiones (la simple y la ramificada) sufrieron grandes ataques. Para unos era insuficiente porque no resolvía todas las paradojas lógicas. Para otros era una teoría demasiado fuerte porque limitaba muchas definiciones matemáticas útiles y consistentes, pero que violaban el principio del círculo vicioso.

Una teoría sin clases

Puesto que la paradoja que descubrió Russell había surgido del concepto de clase, Russell abogó por una “teoría sin clases” (no-classes theory) que pondría fin al problema de las paradojas. Esta teoría la describió en un artículo de 1906, que no llegó a publicarse porque lo retuvo para corregir algunos aspectos paradójicos que había descubierto. Finalmente se publicó el artículo original y su versión revisada en 1973, de forma póstuma.

En su obra “Introducción a la Filosofía Matemática” (1918) decía: “las clases son ficciones lógicas” y “las clases son símbolos incompletos”. Russell abandonó las clases y se quedó solo con las funciones proposicionales. Esto supuso un proceso de “desplatonización” de la matemática (al no considerar las clases como entidades reales), un proceso que tuvo su antecedente en su “teoría de las descripciones”.

La teoría sin clases también se denomina “teoría sustitucional”, pues se trata realmente de un cálculo basado en la operación de sustitución. En esta teoría hay una sola clase de variable: la variable no-restringida, una variable cuyo rango es el de todas las entidades cuyos valores son todos del mismo tipo. Este enfoque intenta conciliar la visión restrictiva de la teoría de tipos y la visión no-restrictiva, porque la teoría sustitucional es el medio para generar la jerarquía de tipos.

Russell tampoco consiguió eliminar las paradojas con esta teoría, pues también aparecían contradicciones.

Paradojas Matemáticas
Son incontables las paradojas matemáticas. Aquí nos vamos a referir a las más interesantes y representativas:

La paradoja de los números irracionales. A los antiguos griegos les resultaba paradójico que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera expresarse como un número que no se pudiera medir exactamente, por fina que se hicieran las graduaciones de la regla de medición. Esta paradoja abrió el campo de los números irracionales.
La paradoja del segmento. El número de puntos de un segmento infinitamente pequeño es el mismo que el de un segmento infinitamente grande. Esto es así porque se puede establecer una correspondencia entre los puntos de ambos segmentos.
La expresión (i² = −1) que define la unidad imaginaria i es paradójica, desafía al sentido común, porque no existe ningún número real cuyo cuadrado sea −1. Sin embargo, ha supuesto una inmensa aportación a la matemática, abriendo nuevos dominios (números complejos, álgebra geométrica, etc.) y posibilitando el relacionar campos diferentes.
La expresión (ε² = 0) que define el infinitésimo ε (un número real infinitamente pequeño mayor que cero) es también paradójica porque no existe ningún número que cumpla estas condiciones. Según el matemático Michael Atiyah, se trata de la expresión más importante en matemáticas porque conecta el mundo discreto con el continuo.
Paradoja de Galileo. A pesar de que no todos los números naturales no son números cuadrados, hay tantos números naturales como números cuadrados, porque se puede establecer una correspondencia biunívoca entre ambos. La paradoja es que va en contra del principio de sentido común de que el todo es mayor que sus partes.
Paradoja del hotel de Hilbert. Un hotel de infinitas habitaciones totalmente ocupado puede albergar infinitos nuevos huéspedes. La expresión matemática es: (∞+∞ = ∞)

Especificación de las Paradojas en MENTAL
La paradoja del mentiroso

“Esta sentencia es falsa” se puede expresar en MENTAL así:

(s =: s/F) // s es una sentencia falsa (F)

La expresión s representa a la expresión fractal

((((s/F)/F)/F)/F)...

Suponiendo los axiomas siguientes, en donde code>s representa una sentencia y V indica verdad:


⟨( (s/F)/F = s/V )⟩  // lo falso de lo falso es verdadero   



⟨( (s/F)/V = s/F )⟩  // lo verdadero de lo falso es falso  



⟨( (s/V)/F = s/F )⟩  // lo falso de lo verdadero es falso   



⟨( (s/V)/V = s/V )⟩  // lo verdadero de lo verdadero es verdadero

entonces, la expresión s representa la secuencia temporal

s/F s/V s/F s/V ...

Es decir, hay una oscilación indefinida entre los estados “s es Falsa” y “s es Verdadera”. Esto se puede interpretar, no como una contradicción, sino como un sistema dinámico dual, un sistema temporal oscilante, una equivalencia lógica u oscilador entre dos expresiones contradictorias: (s/F ↔ s/V). Aquí, en esta dinámica sin fin comparece el infinito.

Si se supone que el tiempo computacional (abstracto) necesario para conmutar entre un estado y otro es nulo, entonces se puede considerar que la sentencia s es a la vez verdadera y falsa:

⟨( (s =: s/F) → s/{V F} )⟩

Otra versión de la paradoja del mentiroso es:

“La sentencia siguiente es falsa” “La sentencia anterior es falsa”

En codificación MENTAL:

((s1 =: s2/F) (s2 =: s1/F))

Las expresión s1 y s2 representan respectivamente a las expresiones


 s1 s2/F  (s1/F)/F  ((s2/F)/F)/F  (((s1/F)/F)/F)/F ...   



 s2 s1/F  (s2/F)/F  ((s1/F)/F)/F  (((s2/F)/F)/F)/F ...

Si suponemos los axiomas anteriores, entonces, las expresiones s1 y s2 representan, respectivamente, las secuencias temporales oscilantes


s2/F s1/V s2/F s1/V ...  


s1/F s2/V s1/F s2/V ...

En este caso, lo que se obtiene son dos bucles: uno entre “s2 es Falsa” y “s1 es Verdadera” y el otro entre “s1 es Falsa” y “s2 es Verdadera”.

Como en el caso anterior, si suponemos que el tiempo computacional (abstracto) necesario para conmutar entre un estado y otro es nulo, entonces se puede considerar que s1 y s2 son a la vez verdaderas y falsas:

⟨( ((s1 =: s2/F) ∧ (s2 =: s1/F)) → {s1/{V F} s2/{V F}} )⟩

Una forma encubierta de la paradoja del mentiroso es la sentencia “Soy indemostrable”, utilizada por Gödel en su famoso teorema de incompletud.

La sentencia “Soy indemostrable” se puede expresar en MENTAL así:

(s =: s/I) // s es una sentencia indemostrable (I)

La expresión s representa a la expresión fractal

((((s/I)/I)/I)/I)...

Suponiendo los axiomas siguientes, en donde s representa una sentencia y D indica demostrable:


⟨( (s/I)/I = s/D )⟩  // lo indemostrable de lo indemostrable es demostrable  



⟨( (s/I)/D = s/I )⟩  // lo demostrable de lo indemostrable es indemostrable



⟨( (s/D)/I = s/I )⟩  // lo indemostrable de lo demostrable es indemostrable  



⟨( (s/D)/D = s/D )⟩  // lo demostrable de lo demostrable es demostrable

entonces, la expresión s representa la secuencia temporal oscilante (o bucle)

s/I s/D s/I s/D ...

Es decir, una oscilación indefinida entre los estados “s es indemostrable” y “s es demostrable”. De nuevo tenemos un oscilador lógico: (s/I ↔ s/D).

Si se supone que el tiempo computacional necesario para conmutar entre un estado y otro es nulo, entonces se puede considerar que s es a la vez demostrable e indemostrable:

⟨( (s =: s/I) → s/{D I} )⟩

La paradoja de Russell

En MENTAL, la paradoja de Russell se puede expresar de la manera siguiente:

( R = {⟨( C ← C/conj ← C∉C )⟩} ) // conjunto de Russell
siendo
⟨( C/conj =: {C↓}=C )⟩ // condición de que C es un conjunto

La paradoja se expresa mediante la equivalencia lógica: (R∈R ↔ R∉R). Esta expresión es una equivalencia lógica entre dos expresiones contradictorias, un “oscilador lógico”, como en el caso de la paradoja del mentiroso, en este caso entre dos relaciones: R∈R y R∉R. Suponiendo que el tiempo computacional (o abstracto) de oscilación entre ambas expresiones es nulo, tenemos la expresión concurrente espacio-temporal (a nivel abstracto) {R∈R R∉R}.

La solución a la paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga

La solución se basa en distinguir dos niveles:

A nivel lógico, abstracto o profundo, Aquiles nunca alcanza a la tortuga porque Aquiles necesita infinitos pasos. En este nivel cada paso es una unidad de tiempo abstracto.
A nivel físico, concreto o superficial, donde el tiempo es lineal, Aquiles alcanza a la tortuga, pues las dos líneas (rectas) en el espacio-tiempo de los dos corredores se cruzan.

Esta paradoja se detalla en el capítulo siguiente.

La solución a la paradoja de la vaguedad

La solución se basa en utilizar la lógica difusa con un valor de verdad igual a un número real entre 0 y 1, con el fin de superar el dualismo verdad-falsedad, en este caso, la dualidad conceptual entre montón y no-montón. Como MENTAL maneja magnitudes cualitativas, en este caso, la forma es f*montón, siendo f un factor entre 0 y 1. Establecemos una función entre n granos de arena y un factor f (entre 0 y 1) que indica el grado en que dichos granos forman un montón. Si consideramos que a partir de n1 granos empieza a formarse un montón, y con n2 (>n1) granos el montón ya está totalmente formado, tenemos:

( f = (0 ← (n<n1) →' (1 ← (n>n2) →' (n−n1).÷(n2−n1).) )

Es decir, f es 0 si n<n1 y 1 si n>n2. En el caso, n1≤n≤n2, f es un valor proporcional.

También podemos establecer la equivalencia (f*montón ≡ montón/(f*V)), es decir, la equivalencia entre el grado de formación del montón y el grado de verdad de la existencia del montón.

Formalización de la paradoja de Yablo en MENTAL

Sentencias originales:


⟨( p\1 = ⟨ (p\(>1))/F ⟩ )⟩


⟨( p\2 = ⟨ (p\(>2))/F ⟩ )⟩


...


⟨( p\n = ⟨ (p\(>n))/F ⟩ )⟩

La expresión de la paradoja es:

⟨( (p\n)/F ↔ (p\n)/V )⟩

MENTAL y la Filosofía de las Paradojas
Tradicionalmente se ha creído que las expresiones paradójicas había que evitarlas porque suponían problemas: reflejaban contradicciones o desafiaban al sentido común. Las paradojas fueron un recurso utilizado por algunos filósofos griegos para demostrar la imposibilidad de conocer la verdad por medio de la razón o para poner en evidencia los límites de la razón. Aunque históricamente, las paradojas han estado asociadas con crisis en el pensamiento, al final produjeron avances revolucionarios. Las paradojas no solo no constituyen un problema, sino que ofrecen soluciones a problemas, y además presentan muchos aspectos de gran interés:

Abren la conciencia al unir los opuestos al contemplarlos desde un punto de vista superior, como una unidad, superando la dualidad. También ayudan a comprender la naturaleza de la conciencia, de la mente y del mundo físico profundo (el mundo cuántico), un mundo próximo a la mente y la conciencia.
Son “atractores” de atención, focos de conciencia y un poderoso estímulo para la reflexión y la creatividad. Producen un “efecto sorpresa”, como cuando se realiza un acto creativo al establecer relaciones inesperadas entre conceptos. Aportan soluciones creativas, abriendo nuevos caminos, avanzando en simplificación, generalización y en la conexión de diferentes dominios.
Ayudan a esclarecer las posibilidades y los límites de los lenguajes formales, como es el caso de MENTAL.
Están en la base de los fractales, formas geométricas que hacen referencia a sí mismas, por lo que estas imágenes están íntimamente relacionados con la conciencia.

Las paradojas como expresiones imaginarias

Las expresiones imaginarias son expresiones sintácticamente correctas pero que expresan algo que va contra el sentido común. Son relaciones atípicas y extrañas entre expresiones. Todas las paradojas confluyen al final en una expresión imaginaria.

Ejemplos de expresiones imaginarias son:


(3 = 7)  // una expresión imaginaria de sustitución



(∞ =: ∞+1)  // definición de infinito



(i*i = −1)  // definición de la unidad imaginaria



(ε*ε = 0)  // definición de infinitésimo



⟨( (b ←' x → a) = {a b} )⟩  // una expresión de la lógica imaginaria



⟨( c+v = c ⟩  // una expresión del álgebra imaginaria

Una forma de ver la expresión (i² = −1) es (dividiendo ambos términos entre i), que es una expresión recursiva. Suponiendo un valor inicial de 1 para i, obtenemos la secuencia temporal 1, −1, 1, −1,... Es decir, tenemos en este caso un oscilador numérico, que puede expresarse mediante la expresión (1 = −1), una expresión de unión de unidades aritméticas opuestas, que recuerda al patrón básico de las paradojas lógicas. Si consideramos tiempo (abstracto) nulo entre dos valores sucesivos, tenemos que i={1 −1}, es decir, la concurrencia espacio-temporal de la unidad aritmética y su opuesta.

Cuanto más simples son las expresiones imaginarias, mayor es su poder y su creatividad. En este sentido, debemos mencionar a los números duales. Clifford inventó los números duales D, una generalización de los números reales, mediante la expresión general r = r₁ + εr₂, siendo r₁ y r₂ números reales y ε definido mediante tres posibles expresiones imaginarias:

ε² = −1. Caso hiperbólico: D = C (conjunto de números complejos)
ε² = 0. Caso parabólico: D = D₀ (conjunto de números duales puros)
ε² = 1. Caso elíptico: D = R (conjunto de números reales)

Está por descubrir la utilidad de muchas expresiones imaginarias de MENTAL. El campo de las expresiones imaginarias es un campo que apenas se ha explorado, pero que ofrece enormes posibilidades. Las expresiones imaginarias pueden ayudar a simplificar o relacionar expresiones y unir o conectar dominios diferentes.

MENTAL, mediante la combinatoria de las primitivas, establece los límites de lo expresable, sean expresiones normales (reales) o imaginarias. Hay entidades inexpresables, como la mayoría de los números irracionales. Los únicos números irracionales expresables (describibles) son los que pueden definirse mediante expresiones recursivas o apelando al infinito de forma descriptiva.

Características de las paradojas

Las paradojas son un tipo de expresiones imaginarias: las que expresan una contradicción. Una expresión como la deducida por la paradoja de Russell, (R∈R « R∉R), es perfectamente válida. Esta expresión desafía el sentido común, pero es corriente en física cuántica, donde causa y efecto están unidos y no hay causalidad lineal o temporal.
Las paradojas aparecen a nivel de los arquetipos primarios, un nivel intermedio entre lo inmanifiesto (profundo) y lo manifiesto (superficial). En este nivel intermedio o frontera hay enfrentamiento de contrarios; es una zona “viva”, dinámica, el nivel donde la conciencia es máxima. A nivel superficial hay enfrentamiento entre los opuestos, y aparecen las paradojas. A nivel profundo hay convivencia y armonía de los opuestos, todo está unificado, y desaparecen las paradojas. El hecho de “tropezar” con una paradoja es buen síntoma, pues indica que hemos alcanzado ese mundo frontera o límite.
Hay una estructura o patrón común en todas las paradojas lógicas y es el oscilador lógico o equivalencia lógica de contrarios. La expresión fundamental de la lógica imaginaria y paradójica es (x ↔ x'). Todavía no se ha encontrado una aplicación a esta expresión, pero quizás algún día desempeñe un papel tan importante como la unidad imaginaria en aritmética y álgebra.
Las expresiones imaginarias de las paradojas se distinguen del resto de las expresiones imaginarias en que son simples y, por lo tanto, representan la máxima conciencia y el máximo poder expresivo.

La solución a las paradojas

Las paradojas no hay que solucionarlas, sino convertirlas o reducirlas a expresiones imaginarias e interpretarlas. La solución a todos los problemas hay que buscarla en los conceptos de la máxima simplicidad posible.
Para ciertas paradojas semánticas como la paradoja del montón hay que relajar la ley lógica del tercero excluido y considerar grados de verdad en general o grados de verdad de un concepto en particular. En MENTAL, la verdad formal (o el grado de verdad, cuyo extremo inferior es la falsedad) es solo un posible atributo de una expresión. La verdad semántica es el significado.
En MENTAL, las paradojas sintácticas y las semánticas son la misma cosa, pues en toda expresión la sintaxis y la semántica son dos aspectos que van unidos porque son dos aspectos de los arquetipos primarios.
El propio lenguaje MENTAL −como lenguaje de la conciencia− es paradójico porque une todos los opuestos y porque permite especificar expresiones imaginarias. Además, la primitiva “Conjunto” une expresiones que ocupan el mismo lugar espacio-temporal a nivel abstracto.
Los conjuntos que se incluyen a sí mismos son perfectamente lícitos y dan lugar a conjuntos fractales. Un ejemplo es (x =: {a b x}), que es un conjunto infinito de tipo fractal:
En general, para ver si una expresión x está contenida en sí misma (en cualquier nivel de la expresión):

x no se contiene a sí misma ←'(x/(xº = θ) → x) → x se contiene a sí misma

MENTAL vs. la teoría de tipos lógicos de Russell

El error de base de Russell fue el logicismo, la idea de que la lógica es la ciencia universal y la matemática una rama de la lógica. La solución no es apelar a la lógica solo, sino a los arquetipos primarios y relacionarlos de forma lingüística.
La teoría de tipos es confusa, compleja e innecesaria. En MENTAL no es necesario buscar una solución a las paradojas, porque las paradojas no constituyen un problema, sino que aportan soluciones creativas a problemas.
Russell intentó formalizar la matemática desde la lógica y luchó toda su vida contra las paradojas lógicas. Pero su solución (la teoría de tipos) no es un axioma lógico, sino un mero principio de ordenación de tipo jerárquico.
Russell no desarrolló total y claramente la teoría y practica de las funciones proposicionales. Por ejemplo, no clarifica la distinción entre funciones proposicionales intensivas y extensivas. Según Quine [1977], la noción de función proposicional es confusa, pues Russell no distingue entre relación de pertenencia, atributo y predicación.
El axioma de reducibilidad, no dice cómo se construye la función predicativa de primer orden equivalente a una función proposicional de cualquier orden.
No se pueden rechazar todas las funciones impredicativas porque algunas hayan producido paradojas, pues rechazarlas implica limitar gravemente la matemática.
Una teoría sin clases no tiene sentido porque el concepto de clase (o conjunto) es un arquetipo primario.
En MENTAL, los tipos son los niveles meta del lenguaje. “El conjunto de los conjuntos” está expresado por una expresión genérica y que, por lo tanto, selecciona los conjuntos del nivel base: {⟨( C ← {C↓}=C )⟩}.
Lo que hay que hacer es definir un lenguaje formal que especifique lo que se puede hacer, en lugar de restringir y limitar mediante descripciones en lenguaje natural. Un lenguaje universal no debe estar restringido y debe ser capaz de formular todo tipo de expresiones, incluyendo las aparentemente paradójicas. Limitar el lenguaje es limitar la libertad y la creatividad.

Adenda
Expresiones autorreferenciales

La autorreferencia aparece en multitud de disciplinas:

En lingüística, la autorreferencia indica que una oración hace referencia a sí misma (como en la paradoja del mentiroso).
Un gráfico es autorreferente si se contiene a sí mismo (como en los fractales).
En literatura, una obra literaria es autorreferente si hace referencia a la propia obra.
En lógica, la autorreferencia da lugar a las paradojas lógicas.
En matemática, la autorreferencia es un concepto de gran interés. Afecta al fundamento de esta disciplina (por el teorema de Gödel) y a la expresión de conceptos importantes como la proporción áurea (Φ = 1 + 1/Φ).
En informática, la autorreferencia simplifica la programación de ordenadores. También puede ocurrir que un proceso quede atrapado en un bucle sin fin
En biología, un ser vivo es un sistema autorreferencial. Los sistemas biológicos emplean la autorreferencia para la estabilidad y el equilibrio dinámico.
En psicología, la autorreferencia está ligada a la conciencia, que es de carácter paradójico porque es circular. La conciencia es autorreferente, es autoconciencia, conciencia de sí misma. La conciencia es paradójica porque une y trasciende los opuestos al contemplarlos desde un nivel superior. La conciencia no se puede explicar porque pertenece a un nivel profundo (o superior).
En neurociencia, el cerebro no distingue entre lo real y lo imaginario, pues se activan en ambos casos las mismas zonas del cerebro.

Las paradojas físicas

Las dos grandes teorías físicas del siglo XX, la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica, están plagadas de resultados paradójicos, que desafían el sentido común. Y esto es así porque ambas teorías son de naturaleza profunda (arquetípica). La teoría de la relatividad es difícil de entender. De hecho, se decía que solo unas pocas personas habían llegado a entenderla. Eddington, a la pregunta de un periodista, afirmaba que solo Einstein y él la entendían. Y respecto a la mecánica cuántica, Feynman decía: “Creo que puedo afirmar con seguridad que nadie entiende la mecánica cuántica“.

En teoría de la relatividad, la invariancia de la velocidad de la luz en el vacío (c) respecto a todos los sistemas inerciales conduce a paradojas como:

La unión de espacio y tiempo, la desaparición del espacio y tiempo absolutos, la dilatación del tiempo, la concepción del espacio-tiempo como una variedad riemaniana y no euclidiana.
La contracción de los cuerpos en la dirección del movimiento y el aumento de la masa.
La expresión imaginaria y paradójica: ⟨( c+v = c )⟩, siendo v cualquier velocidad (menor o igual a c).
La paradoja de los gemelos.
La paradoja del viaje en el tiempo (o paradoja del abuelo).

En mecánica cuántica rige la unión de los opuestos porque es un mundo próximo a la conciencia:

La unión de causa y efecto. Todo es a la vez causa y efecto. No rige el principio de causalidad lineal.
La unión de onda y partícula. Toda entidad cuántica se comporta como onda o como partícula (principio de complementariedad de Bohr).
La unión e sujeto y objeto, entre observador y fenómeno observado. El sujeto, el objeto y el acto de observación son en realidad un único sistema. La escisión entre sujeto y objeto es una abstracción que no se corresponde con la realidad. Es el universo observándose a sí mismo.
Una entidad cuántica está en todos los sitios a la vez.
La superposición de estados. Por ejemplo, un electrón está con espín hacia arriba y hacia abajo a la vez.
La paradoja del gato de Schrödinger, un experimento imaginario ideado por este físico en 1938 para demostrar que la interpretación probabilística de la física cuántica conducía a un absurdo: que el gato estaría en una superposición de estados: vivo y muerto a la vez.
El salto cuántico de un electrón de un nivel energético a otro sin pasar por los intermedios.
La paradoja de la no-localidad, del entrelazamiento cuántico. Dos entidades cuánticas separadas interconectadas se relacionan de manera instantánea, desafiando la limitación de la velocidad de la luz.
El principio de incertidumbre de Heisenberg, que impide conocer a la vez la posición y el momento (o la velocidad) de una entidad cuántica.
La paradoja de la elección retardada en el experimento de la doble rendija.

Pero todas estas paradojas físicas se comprenden mejor si consideramos que la conciencia es el fundamento de todas las cosas [Goswami, 1998]:

La materia no es la realidad fundamental del universo sino la conciencia. La materia es una manifestación de la conciencia.
La conciencia subjetiva surge como resultado de un bucle cerrado de autorreferencia.
La conciencia es unitiva. La conciencia subjetiva (interna) es la misma que conciencia objetiva (externa).
La percepción es una sincronización entre nuestra conciencia (mundo interior) y el nivel profundo (cuántico) del mundo exterior. Es la actividad de la conciencia del sujeto lo que determina el “colapso cuántico” de una onda en partícula, que hace que el mundo se manifieste.

Imágenes gestalt

Vaso de
Rubin

Las imagenes gestalt constituyen una buena metáfora de las paradojas lógicas. Son imágenes que ofrecen dos formas de mirarla. Nuestra conciencia se colapsa sucesivamente en una de ellas. Es una equivalencia de visiones opuestas o complementarias en la que pasamos de una visión a la otra, como en la paradoja del mentiroso o la de Russell.

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